与えられた等比数列 $2, -6, 18, -54, 162, \dots$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) この数列の一般項を求めます。 (2) $-4374$ が第何項であるかを求めます。 (3) 等比数列の和 $2 - 6 + 18 - 54 + 162 + \dots - 4374$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $2, -6, 18, -54, 162, \dots$ について、以下の3つの問いに答えます。

(1) この数列の一般項を求めます。

(2) $-4374$ が第何項であるかを求めます。

(3) 等比数列の和 $2 - 6 + 18 - 54 + 162 + \dots - 4374$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める。

数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求め、等比数列の一般項の公式 $a_n = ar^{n-1}$ を用います。

初項 $a = 2$ です。

公比 $r = \frac{-6}{2} = -3$ です。

したがって、一般項は $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ です。

(2) $-4374$ が第何項かを求める。

一般項が $a_n = -4374$ となる $n$ を求めます。

$2 \cdot (-3)^{n-1} = -4374$

$(-3)^{n-1} = -2187$

$(-3)^{n-1} = (-3)^7$

したがって、$n - 1 = 7$

$n = 8$

よって、$-4374$ は第8項です。

(3) 等比数列の和を求める。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用います。

$n=8, a=2, r=-3$ であるので、

$S_8 = \frac{2(1-(-3)^8)}{1-(-3)} = \frac{2(1-6561)}{4} = \frac{2(-6560)}{4} = -3280$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(2) $-4374$ は第8項

(3) 等比数列の和: $-3280$