点 $P(x, y)$ が原点を中心とする単位円の内部(境界を含む)を動くとき、$x+y=u$, $xy=v$ とする。点 $Q(u, v)$ が動く範囲を $uv$ 平面に図示せよ。

代数学二次方程式不等式軌跡判別式
2025/5/27

1. 問題の内容

P(x,y)P(x, y) が原点を中心とする単位円の内部(境界を含む)を動くとき、x+y=ux+y=u, xy=vxy=v とする。点 Q(u,v)Q(u, v) が動く範囲を uvuv 平面に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、xxyytt に関する二次方程式
t2ut+v=0t^2 - ut + v = 0
の2つの実数解である。したがって、判別式 DDD0D \geq 0 を満たす必要がある。
D=u24v0D = u^2 - 4v \geq 0
これから、v14u2v \leq \frac{1}{4}u^2 を得る。
次に、P(x,y)P(x,y) は単位円の内部(境界を含む)を動くので、x2+y21x^2+y^2 \leq 1 である。
x2+y2=(x+y)22xy=u22v1x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v \leq 1
これから、v12u212v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2} を得る。
また、xxyy は実数なので、2つの解が存在する条件として
x+y=u,xy=vx+y=u, xy=v
を満たす。
x,yx,y が実数解を持つ条件として
u24v0u^2-4v \geq 0
vu24v \leq \frac{u^2}{4}
さらに、
x2+y2=(x+y)22xy=u22v1x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2-2v \leq 1
2vu212v \geq u^2 -1
vu212v \geq \frac{u^2-1}{2}
ここで、u24v=0u^2-4v=0 つまり v=u24v=\frac{u^2}{4}x2+y2=1x^2+y^2=1 つまり v=u212v = \frac{u^2-1}{2} の交点を求める。
u24=u212\frac{u^2}{4} = \frac{u^2-1}{2}
u2=2u22u^2=2u^2-2
u2=2u^2 = 2
u=±2u = \pm \sqrt{2}
v=24=12v = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}
次に、uu の範囲を求める。
x+y=ux+y = u であるから、2u2- \sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}
したがって、求める範囲は、v14u2v \leq \frac{1}{4}u^2v12u212v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2} で囲まれた領域である。

3. 最終的な答え

求める範囲は、v14u2v \leq \frac{1}{4}u^2 かつ v12u212v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2} であり、2u2- \sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2} の範囲。

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