点 $P(x, y)$ が原点を中心とする単位円の内部（境界を含む）を動くとき、$x+y=u$, $xy=v$ とする。点 $Q(u, v)$ が動く範囲を $uv$ 平面に図示せよ。

1. 問題の内容

点 $P(x, y)$ が原点を中心とする単位円の内部（境界を含む）を動くとき、$x+y=u$, $xy=v$ とする。点 $Q(u, v)$ が動く範囲を $uv$ 平面に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ は $t$ に関する二次方程式

$t^2 - ut + v = 0$

の2つの実数解である。したがって、判別式 $D$ は $D \geq 0$ を満たす必要がある。

$D = u^2 - 4v \geq 0$

これから、$v \leq \frac{1}{4}u^2$ を得る。

次に、$P(x,y)$ は単位円の内部（境界を含む）を動くので、$x^2+y^2 \leq 1$ である。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v \leq 1$

これから、$v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2}$ を得る。

また、$x$ と $y$ は実数なので、２つの解が存在する条件として

$x+y=u, xy=v$

を満たす。

$x,y$ が実数解を持つ条件として

$u^2-4v \geq 0$

$v \leq \frac{u^2}{4}$

さらに、

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2-2v \leq 1$

$2v \geq u^2 -1$

$v \geq \frac{u^2-1}{2}$

ここで、$u^2-4v=0$ つまり $v=\frac{u^2}{4}$ と $x^2+y^2=1$ つまり $v = \frac{u^2-1}{2}$ の交点を求める。

$\frac{u^2}{4} = \frac{u^2-1}{2}$

$u^2=2u^2-2$

$u^2 = 2$

$u = \pm \sqrt{2}$

$v = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

次に、$u$ の範囲を求める。

$x+y = u$ であるから、$- \sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}$

したがって、求める範囲は、$v \leq \frac{1}{4}u^2$ と $v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2}$ で囲まれた領域である。

3. 最終的な答え

求める範囲は、$v \leq \frac{1}{4}u^2$ かつ $v \geq \frac{1}{2}u^2 - \frac{1}{2}$ であり、$- \sqrt{2} \leq u \leq \sqrt{2}$ の範囲。