$a, b$ が実数のとき、不等式 $a^2 + 5b^2 \ge 4ab + 2b - 1$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ が実数のとき、不等式 $a^2 + 5b^2 \ge 4ab + 2b - 1$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理し、平方完成を用いて証明します。

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$$a^2 + 5b^2 - 4ab - 2b + 1 \ge 0$$

次に、$a$ について平方完成を行います。

$$(a^2 - 4ab) + 5b^2 - 2b + 1 \ge 0$$

$$(a - 2b)^2 - (2b)^2 + 5b^2 - 2b + 1 \ge 0$$

$$(a - 2b)^2 - 4b^2 + 5b^2 - 2b + 1 \ge 0$$

$$(a - 2b)^2 + b^2 - 2b + 1 \ge 0$$

さらに、$b$ について平方完成を行います。

$$(a - 2b)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$$

$a$ と $b$ は実数なので、$(a - 2b)^2 \ge 0$ かつ $(b - 1)^2 \ge 0$ です。したがって、

$$(a - 2b)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a^2 + 5b^2 \ge 4ab + 2b - 1$ が成り立つ。