与えられた式 $ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 $ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ計算します。

\begin{align*}

(x-1)(x-7) &= x^2 - 8x + 7 \\

(x-3)(x-5) &= x^2 - 8x + 15

\end{align*}

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置換すると、与えられた式は

\begin{align*}

(y+7)(y+15) + 15 &= y^2 + 22y + 105 + 15 \\

&= y^2 + 22y + 120

\end{align*}

となります。これを因数分解します。

$y^2 + 22y + 120 = (y+10)(y+12)$

ここで、$y$ を $x^2 - 8x$ に戻します。

\begin{align*}

(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)

\end{align*}

$x^2 - 8x + 12$ の部分をさらに因数分解できます。$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

したがって、$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)$