ボールをある角度で発射した時の軌道を放物線で表し、その放物線に関するいくつかの値を求める問題です。具体的には、放物線の頂点の座標、ボールが最も高い位置にあるときの地面からの高さと水平距離、ボールが地面に落下するまでの水平距離を計算します。与えられた放物線は2種類あります。

1. 問題の内容

ボールをある角度で発射した時の軌道を放物線で表し、その放物線に関するいくつかの値を求める問題です。具体的には、放物線の頂点の座標、ボールが最も高い位置にあるときの地面からの高さと水平距離、ボールが地面に落下するまでの水平距離を計算します。与えられた放物線は2種類あります。

2. 解き方の手順

(1) 水平方向から45°の方向に発射した場合：

放物線の式は $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ です。

頂点の座標を求めるために、式を平方完成します。

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{20}((x-10)^2 - 100) = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 5$

したがって、頂点の座標は $(10, 5)$ となります。

つまり、アイ = 10, ウ = 5 です。

ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さは $y$ 座標であり、それは頂点の $y$ 座標です。したがって、高さは 5 です。その時の水平距離 $x$ は頂点の $x$ 座標であり、それは 10 です。

ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めるために、$y = 0$ を代入します。

$0 = -\frac{1}{20}x^2 + x$

$0 = x(-\frac{1}{20}x + 1)$

$x = 0$ または $-\frac{1}{20}x + 1 = 0 \implies \frac{1}{20}x = 1 \implies x = 20$

$x = 0$ は発射地点なので、$x = 20$ が求める水平距離です。

つまり、エオ = 20 です。

(2) 水平方向から30°の方向に発射した場合：

放物線の式は $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ です。

ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めるために、$y = 0$ を代入します。

$0 = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$0 = x(-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}})$

$x = 0$ または $-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0 \implies \frac{1}{30}x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$

$x = 0$ は発射地点なので、$x = 10\sqrt{3}$ が求める水平距離です。

つまり、カキ = 10, ク = 3 です。

3. 最終的な答え

* アイ = 10

* ウ = 5

* エオ = 20

* カキ = 10

* ク = 3