$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ とする。 このとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$ の値を求め、$b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a = \frac{2}{3+\sqrt{7}}$, $b = \frac{2}{3-\sqrt{7}}$ とする。

このとき、$ab$, $a+b$, $a^2+b^2$ の値を求め、$b^4 + \frac{16}{b^4}$, $b^4 - \frac{16}{b^4}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$ab$ を計算する。

$ab = \frac{2}{3+\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{4}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{4}{9-7} = \frac{4}{2} = 2$

よって、アは2である。

次に、$a+b$ を計算する。

$a+b = \frac{2}{3+\sqrt{7}} + \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3-\sqrt{7}) + 2(3+\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{6-2\sqrt{7} + 6+2\sqrt{7}}{9-7} = \frac{12}{2} = 6$

よって、イは6である。

次に、$a^2+b^2$ を計算する。

$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 6^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32$

よって、ウエは32である。

$\frac{ア}{b} = \frac{2}{b} = \frac{2}{\frac{2}{3-\sqrt{7}}} = 3-\sqrt{7} = a$と問題文にあるが、これは誤り。正しくは$\frac{a}{b}$の値について。

次に、$b^4 + \frac{16}{b^4}$ を計算する。

$b = \frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$

$b^2 = (3+\sqrt{7})^2 = 9+6\sqrt{7}+7 = 16+6\sqrt{7}$

$b^4 = (16+6\sqrt{7})^2 = 256+192\sqrt{7}+252 = 508+192\sqrt{7}$

$\frac{16}{b^4} = \frac{16}{508+192\sqrt{7}} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{(508+192\sqrt{7})(508-192\sqrt{7})} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{508^2-(192^2)(7)} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{258064 - 258048} = \frac{16(508-192\sqrt{7})}{16} = 508-192\sqrt{7}$

$b^4 + \frac{16}{b^4} = (508+192\sqrt{7}) + (508-192\sqrt{7}) = 1016$

よって、オカキクは1016である。

次に、$b^4 - \frac{16}{b^4}$ を計算する。

$b^4 - \frac{16}{b^4} = (508+192\sqrt{7}) - (508-192\sqrt{7}) = 384\sqrt{7}$

よって、ケコサは384である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 6

ウエ: 32

オカキク: 1016

ケコサ: 384