$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

* **ステップ1：共役複素数の利用**

係数が実数である3次方程式が複素数 $1+i$ を解にもつとき、その共役複素数 $1-i$ も解になる。

* **ステップ2：解と係数の関係の利用**

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ について、解と係数の関係は以下の通り。

* $\alpha + \beta + \gamma = -a$

* $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

* $\alpha\beta\gamma = -c$

今回、2つの解が $1+i$ と $1-i$ であることがわかっているので、残りの解を $\gamma$ とおく。

この問題では、$x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$ なので、

* $(1+i) + (1-i) + \gamma = -a$

* $(1+i)(1-i) + (1-i)\gamma + \gamma(1+i) = b$

* $(1+i)(1-i)\gamma = 4$

これらの式を整理する。

* **ステップ3：$\gamma$ の値を求める**

$(1+i)(1-i)\gamma = 4$ より、

$(1 - i^2)\gamma = 4$

$2\gamma = 4$

$\gamma = 2$

* **ステップ4：$a, b$ の値を求める**

$(1+i) + (1-i) + \gamma = -a$ より、

$2 + 2 = -a$

$a = -4$

$(1+i)(1-i) + (1-i)\gamma + \gamma(1+i) = b$ より、

$2 + (1-i)2 + 2(1+i) = b$

$2 + 2 - 2i + 2 + 2i = b$

$b = 6$

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 6$, 他の解は $1-i$ と $2$