与えられた式 $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ を簡略化して計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ を簡略化して計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの立方根を簡単にします。

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt[3]{\frac{2}{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

$\sqrt[3]{2}$ を共通因数としてくくりだします。

$(3 + 2 - \frac{1}{2})\sqrt[3]{2} = (5 - \frac{1}{2})\sqrt[3]{2} = (\frac{10}{2} - \frac{1}{2})\sqrt[3]{2} = \frac{9}{2}\sqrt[3]{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}\sqrt[3]{2}$