画像に書かれた3つの不等式を解く問題です。 (1) $\sqrt{2x+1} > 5$ (2) $\sqrt{3x-1} < \sqrt{5(x-3)}$ (3) $2x \leq \sqrt{3(x+1)}$

1. 問題の内容

画像に書かれた3つの不等式を解く問題です。

(1) $\sqrt{2x+1} > 5$

(2) $\sqrt{3x-1} < \sqrt{5(x-3)}$

(3) $2x \leq \sqrt{3(x+1)}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2x+1} > 5$

まず、平方根の中身が0以上である必要があります。

$2x+1 \geq 0$

$2x \geq -1$

$x \geq -\frac{1}{2}$

次に、不等式の両辺を2乗します。

$2x+1 > 25$

$2x > 24$

$x > 12$

$x \geq -\frac{1}{2}$ と $x > 12$ の共通範囲は $x > 12$ です。

(2) $\sqrt{3x-1} < \sqrt{5(x-3)}$

まず、それぞれの平方根の中身が0以上である必要があります。

$3x-1 \geq 0$

$3x \geq 1$

$x \geq \frac{1}{3}$

$5(x-3) \geq 0$

$x-3 \geq 0$

$x \geq 3$

$x \geq \frac{1}{3}$ と $x \geq 3$ の共通範囲は $x \geq 3$ です。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$3x-1 < 5(x-3)$

$3x-1 < 5x-15$

$14 < 2x$

$7 < x$

$x > 7$

$x \geq 3$ と $x > 7$ の共通範囲は $x > 7$ です。

(3) $2x \leq \sqrt{3(x+1)}$

まず、平方根の中身が0以上である必要があります。

$3(x+1) \geq 0$

$x+1 \geq 0$

$x \geq -1$

次に、$2x$ の符号で場合分けをします。

(i) $2x < 0$ の場合、つまり $x < 0$ の場合:

$x \geq -1$ と $x < 0$ の共通範囲は $-1 \leq x < 0$ です。この範囲では不等式は常に成り立ちます。

(ii) $2x \geq 0$ の場合、つまり $x \geq 0$ の場合:

不等式の両辺を2乗します。

$4x^2 \leq 3(x+1)$

$4x^2 \leq 3x+3$

$4x^2 - 3x - 3 \leq 0$

二次方程式 $4x^2 - 3x - 3 = 0$ を解きます。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(-3)}}{2(4)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+48}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \approx -0.568$ および $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \approx 1.318$

したがって、$4x^2 - 3x - 3 \leq 0$ の解は $\frac{3 - \sqrt{57}}{8} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ です。

$x \geq 0$ である必要があるので、$0 \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ となります。

(i), (ii) より、$-1 \leq x < 0$ または $0 \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ なので、$-1 \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x > 12$

(2) $x > 7$

(3) $-1 \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$