SUUGAKUKAの9文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並べ方の場合の数を求めます。 (2) SとGが左からこの順に並ぶ場合の数を求めます。

1. 問題の内容

SUUGAKUKAの9文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。

(1) 全ての並べ方の場合の数を求めます。

(2) SとGが左からこの順に並ぶ場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全ての並べ方の場合の数

SUUGAKUKAの9文字を並べる場合、同じ文字が複数存在するため、順列の公式を修正する必要があります。

文字の種類と個数は以下の通りです。

- S: 1個

- U: 2個

- G: 1個

- A: 2個

- K: 2個

したがって、9文字の並べ方の総数は、

$\frac{9!}{1!2!1!2!2!} = \frac{9!}{2!2!2!} = \frac{362880}{8} = 45360$ 通り

(2) S, Gが左からこの順に並ぶ場合の数

SとGを同じ文字Xと考えて、X, X, U, U, A, A, K, K, もう一つの文字を適当な文字（たとえばY）とします。

これらの9文字を並べる場合の数は $\frac{9!}{2!2!2!}$ です。

ただし，同じ文字とみなした二つの文字をSとGに置き換えると，S,Gの順序は問題の条件より決定しているので，SとGを区別する必要はありません。

SとGを区別せずに並べた後で、左側のXをS, 右側のXをGと置き換えることで、条件を満たす並べ方が得られます。

したがって、S, Gが左からこの順に並ぶ場合の数は、

$\frac{9!}{2!2!2!} / 2 = 45360$

ここで、S, G をそれぞれXとYで置き換えたと考えると、X, U, U, Y, A, A, K, K, A という9文字を並べ替える並べ方を考えることになります。この場合、SとGを区別するので $\frac{9!}{2! 2! 2!} = 45360$

SとGの並び順が指定されているため、S, Gを区別しないと考えて、SとGを同一の文字（例えばX）とみなします。

SUUGAKUKAの文字数は9なので、残りの文字はUが2個、Aが2個、Kが2個となります。

したがって、SとGをXとみなしたとき、並べ方は $\frac{9!}{2!2!2!} / 2 = 22680$

S, Gの順番が指定されているので、S, Gをまとめて考えて、他の7文字と合わせて8文字とします。この8文字の中にU, A, Kがそれぞれ2個ずつあるので、並べ方は$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{40320}{8} = 5040$通り

S, Gが左からこの順に並ぶように、S, Gの位置を固定することを考えます。

残り7つの文字を並べる方法は$\frac{7!}{2!2!2!} = \frac{5040}{8} = 630$通り。

SとGの間に入る文字数を0から7まで変化させるので、$\frac{9 \cdot 8}{2} = 36$

したがって、$36 \times 630$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 45360 通り

(2) 45360 通り