実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$、$C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられています。このとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

実数全体の集合を全体集合とし、集合 $A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$、$C = \overline{A} \cup \overline{B}$ が与えられています。このとき、$A \cap C$ と $A \cup C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$C = \overline{A} \cup \overline{B}$ をド・モルガンの法則を用いて変形します。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ です。

$A \cap B$ を求めます。$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$、$B = \{x \mid -3 < x \le 4\}$ なので、$A \cap B = \{x \mid -1 \le x \le 4\}$ となります。

次に、$C = \overline{A \cap B}$ を求めます。全体集合は実数全体なので、$C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$ となります。

$A \cap C$ を求めます。$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$ なので、$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$ となります。

$A \cup C$ を求めます。$A = \{x \mid -1 \le x < 5\}$, $C = \{x \mid x < -1 \text{ または } x > 4\}$ なので、$A \cup C = \{x \mid x < 5 \text{ または } x > 4\}$ となります。これはつまり、実数全体から $4 \le x \le 4$ を除いたものですが、4を除いても実数全体になります。

したがって、$A \cup C$ は実数全体です。

3. 最終的な答え

$A \cap C = \{x \mid 4 < x < 5\}$

$A \cup C =$ 実数全体