2次方程式 $x^2 + 8x + 11 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 8x + 11 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -8$、$\alpha \beta = 11$が成り立ちます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めるには、$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ を利用します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = -8$、$\alpha\beta = 11$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-8)^2 - 2(11) = 64 - 22 = 42$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ を展開すると、

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$

$\alpha + \beta = -8$、$\alpha\beta = 11$ を代入すると、

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = 11 + (-8) + 1 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 42$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = 4$