$l, n$ を正の整数とし、$A_1, A_2, ..., A_l$ を $n$ 次正方行列とする。もし積 $A_1A_2...A_l$ が正則であれば、任意の $1 \le i \le l$ に対して $A_i$ は正則であることを、$l$ に関する数学的帰納法で証明する過程における、下線部(1)～(6)の理由を説明する。

1. 問題の内容

$l, n$ を正の整数とし、$A_1, A_2, ..., A_l$ を $n$ 次正方行列とする。もし積 $A_1A_2...A_l$ が正則であれば、任意の $1 \le i \le l$ に対して $A_i$ は正則であることを、$l$ に関する数学的帰納法で証明する過程における、下線部(1)～(6)の理由を説明する。

2. 解き方の手順

まず問題文に下線部(1)から(6)が書かれていないため、文脈から下線部を推測し、それぞれの理由を説明する。

* l=2の場合

* 下線部(1): $I_n = BB^{-1} = A_1(A_2B^{-1})$

これは、B が正則であることから、その逆行列 $B^{-1}$ が存在し、$BB^{-1} = I_n$ （単位行列）が成り立つ。また、$B = A_1 A_2$ と定義しているので、$BB^{-1} = A_1 A_2 B^{-1}$ と書ける。

* 下線部(2): $A_1$は正則

$I_n = A_1(A_2B^{-1})$ より、$A_1$ に $(A_2B^{-1})$ を右から掛けると単位行列になる。したがって、$A_1$ は右逆行列を持つため、正則である。

* 下線部(3): $A_2 = A_1^{-1}B$

$B = A_1 A_2$ の両辺に左から $A_1^{-1}$ を掛けると、$A_1^{-1}B = A_1^{-1}A_1A_2 = I_n A_2 = A_2$ となる。

* 下線部(4): $A_2$ は正則

$A_2 = A_1^{-1}B$ であり、$A_1^{-1}$ と $B$ が正則であるから、$A_2$ も正則である。正則行列の積は正則である。

* $l \ge 3$の場合

* 下線部(5): $A_1$ と $A_2 \dots A_l$ は両方正則

$A_1A_2...A_l$ が正則であるという仮定と、$A_1A_2...A_l = A_1(A_2...A_l)$が成り立つことから、行列の積 $A_1(A_2...A_l)$ が正則であることがわかる。正方行列の積が正則ならば、それぞれの行列も正則である。

3. 最終的な答え

* (1) Bが正則なので$BB^{-1}=I_n$。B=A1A2より$A_1(A_2B^{-1})=I_n$

* (2) $A_1(A_2B^{-1})=I_n$ となる行列が存在するので、$A_1$は正則。

* (3) $B=A_1A_2$ の両辺に左から $A_1^{-1}$ を掛けると $A_2 = A_1^{-1}B$

* (4) $A_1$と$B$が正則なので $A_2=A_1^{-1}B$ も正則。

* (5) $A_1A_2...A_l = A_1(A_2...A_l)$ が正則なので、A1もA2...Alも正則。