与えられた二次方程式 $(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mx - Y)x + 9(mx - Y)^2 - 144 = 0$ の判別式 $D$ を計算し、その $D/4$ が $D/4 = (-9)^2\{m(mx-Y)\}^2 - [(9m^2+16)\{9(mx-Y)^2-144\}] = 0$ で与えられる。この続きを計算し、$m$ の降べきの順に整理する。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式

$(9m^2 + 16)x^2 - 18m(mx - Y)x + 9(mx - Y)^2 - 144 = 0$

の判別式 $D$ を計算し、その $D/4$ が

$D/4 = (-9)^2\{m(mx-Y)\}^2 - [(9m^2+16)\{9(mx-Y)^2-144\}] = 0$

で与えられる。この続きを計算し、$m$ の降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

まず、$D/4$ の式を展開していく。

\begin{align*}

D/4 &= 81m^2(m^2x^2 - 2mxY + Y^2) - (9m^2+16)(9(m^2x^2 - 2mxY + Y^2) - 144) \\

&= 81m^4x^2 - 162m^3xY + 81m^2Y^2 - (9m^2+16)(9m^2x^2 - 18mxY + 9Y^2 - 144) \\

&= 81m^4x^2 - 162m^3xY + 81m^2Y^2 - (81m^4x^2 - 162m^3xY + 81m^2Y^2 - 1296m^2 + 144m^2x^2 - 288mxY + 144Y^2 - 2304) \\

&= 81m^4x^2 - 162m^3xY + 81m^2Y^2 - 81m^4x^2 + 162m^3xY - 81m^2Y^2 + 1296m^2 - 144m^2x^2 + 288mxY - 144Y^2 + 2304 \\

&= (81x^2 - 81x^2)m^4 + (-162xY + 162xY)m^3 + (81Y^2 - 81Y^2 + 1296 - 144x^2)m^2 + (288xY)m + (2304 - 144Y^2) \\

&= (1296 - 144x^2)m^2 + (288xY)m + (2304 - 144Y^2)

\end{align*}

したがって、$m$ の降べきの順に整理すると、

$D/4 = (1296 - 144x^2)m^2 + (288xY)m + (2304 - 144Y^2)$

3. 最終的な答え

$(1296 - 144x^2)m^2 + 288xYm + (2304 - 144Y^2)$

あるいは、係数を整理すると、

$144((9-x^2)m^2 + 2xYm + (16-Y^2))$

と表せる。

$(9-x^2)144m^2 + 288XYm + (16-Y^2)144$