4次式 $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8$ が $(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)$ と因数分解されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $c$ の値を求める。 (2) $a < b$ の場合と $a \geq b$ の場合に、$a$, $b$, $k$ の値をそれぞれ求める。 (3) $(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)=0$ を満たす正の実数 $x$ を、$a < b$ の場合と $a \geq b$ の場合にそれぞれ求める。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8$ が $(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)$ と因数分解されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $c$ の値を求める。

(2) $a < b$ の場合と $a \geq b$ の場合に、$a$, $b$, $k$ の値をそれぞれ求める。

(3) $(x^2+ax+4)(x^2+bx-c)=0$ を満たす正の実数 $x$ を、$a < b$ の場合と $a \geq b$ の場合にそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8 = (x^2+ax+4)(x^2+bx-c)$ を展開すると、

$x^4 + (a+b)x^3 + (4-c+ab)x^2 + (4b-ac)x - 4c$ となります。

係数を比較すると、

$a+b = 5$

$4-c+ab = 6$

$4b-ac = k$

$-4c = -8$

最後の式から $c = 2$ となります。

(2) $c=2$ を $4-c+ab=6$ に代入すると、$4-2+ab=6$ より、$ab = 4$ となります。

$a+b = 5$ と $ab = 4$ より、$a, b$ は $t^2 - 5t + 4 = 0$ の解となります。

これを解くと、$(t-1)(t-4) = 0$ より、$t=1, 4$ です。

$a < b$ の場合、$a=1, b=4$ です。

このとき、$k = 4b - ac = 4(4) - 1(2) = 16 - 2 = 14$ です。

$a \geq b$ の場合、$a=4, b=1$ です。

このとき、$k = 4b - ac = 4(1) - 4(2) = 4 - 8 = -4$ です。

(3) $a < b$ のとき、$a=1, b=4, c=2$ なので、$(x^2+x+4)(x^2+4x-2)=0$ です。

$x^2+x+4=0$ は判別式 $D = 1^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ より、実数解を持ちません。

$x^2+4x-2=0$ を解くと、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$ です。

正の実数解は $x = -2 + \sqrt{6}$ です。

$a \geq b$ のとき、$a=4, b=1, c=2$ なので、$(x^2+4x+4)(x^2+x-2)=0$ です。

$(x+2)^2(x+2)(x-1)=0$

$x=-2, 1$

正の実数解は $x=1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(2) $a < b$ のとき、$a = 1$, $b = 4$, $k = 14$

$a \geq b$ のとき、$a = 4$, $b = 1$, $k = -4$

(3) $a < b$ のとき、$x = -2 + \sqrt{6}$

$a \geq b$ のとき、$x = 1$