$x^{1/2} + x^{-1/2} = 5$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^{3/2} + x^{-3/2}$ (2) $x^2 + x^{-2}$

1. 問題の内容

$x^{1/2} + x^{-1/2} = 5$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^{3/2} + x^{-3/2}$

(2) $x^2 + x^{-2}$

2. 解き方の手順

(1) $x^{1/2} + x^{-1/2} = 5$ の両辺を3乗する。

$(x^{1/2} + x^{-1/2})^3 = 5^3$

$x^{3/2} + 3(x^{1/2})^2(x^{-1/2}) + 3(x^{1/2})(x^{-1/2})^2 + x^{-3/2} = 125$

$x^{3/2} + 3x + 3x^{-1} + x^{-3/2} = 125$

$x^{3/2} + x^{-3/2} + 3(x^{1/2} + x^{-1/2}) = 125$

$x^{3/2} + x^{-3/2} + 3(5) = 125$

$x^{3/2} + x^{-3/2} = 125 - 15$

$x^{3/2} + x^{-3/2} = 110$

(2) $x^{1/2} + x^{-1/2} = 5$ の両辺を2乗する。

$(x^{1/2} + x^{-1/2})^2 = 5^2$

$x + 2(x^{1/2})(x^{-1/2}) + x^{-1} = 25$

$x + 2 + x^{-1} = 25$

$x + x^{-1} = 23$

両辺を2乗する。

$(x + x^{-1})^2 = 23^2$

$x^2 + 2(x)(x^{-1}) + x^{-2} = 529$

$x^2 + 2 + x^{-2} = 529$

$x^2 + x^{-2} = 529 - 2$

$x^2 + x^{-2} = 527$

3. 最終的な答え

(1) $x^{3/2} + x^{-3/2} = 110$

(2) $x^2 + x^{-2} = 527$