$P(x) = 2x^2 - 5x - 2$のとき、$P(1)$, $P(-1)$の値を求め、また、$P(x)$を$x-a$で割ったときの余り、$P(a) = 0$のときの$x-a$と$P(x)$の関係について答える。

## 問題の解答

以下に、問題の解答を示します。

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1. 問題の内容

$P(x) = 2x^2 - 5x - 2$のとき、$P(1)$, $P(-1)$の値を求め、また、$P(x)$を$x-a$で割ったときの余り、$P(a) = 0$のときの$x-a$と$P(x)$の関係について答える。

2. 解き方の手順

* $P(1)$を求める：$P(x)$に$x=1$を代入する。

* $P(-1)$を求める：$P(x)$に$x=-1$を代入する。

* $P(x)$を$x-a$で割ったときの余りは、剰余の定理より$P(a)$である。

* $P(a) = 0$のとき、$x-a$は$P(x)$の因数である（因数定理）。

3. 最終的な答え

* $P(1) = 2(1)^2 - 5(1) - 2 = 2 - 5 - 2 = -5$

* $P(-1) = 2(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 2 + 5 - 2 = 5$

* $P(x)$を$x-a$で割ったときの余りは$P(a)$

* $P(a) = 0$のとき、$x-a$は$P(x)$の **因数** である。

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1. 問題の内容

与えられた式を括弧内の式で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理を用いる。

* ①：$x^2 + 3x - 5$を$x-1$で割った余り

$x-1=0$より、$x=1$

余りは$1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

* ②：$x^3 - 2x^2 + 1$を$x-3$で割った余り

$x-3=0$より、$x=3$

余りは$3^3 - 2(3)^2 + 1 = 27 - 18 + 1 = 10$

3. 最終的な答え

* ①：-1

* ②：10

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1. 問題の内容

因数定理を利用して、与えられた式を因数分解する。

2. 解き方の手順

* ①：$x^3 + 7x^2 - x - 7$

$P(x) = x^3 + 7x^2 - x - 7$とおく。

$P(1) = 1 + 7 - 1 - 7 = 0$より、$x-1$を因数に持つ。

$x^3 + 7x^2 - x - 7 = (x-1)(x^2+8x+7) = (x-1)(x+1)(x+7)$

* ②：$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$とおく。

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$より、$x-1$を因数に持つ。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$

3. 最終的な答え

* ①：$(x-1)(x+1)(x+7)$

* ②：$(x-1)(x-2)(x-3)$

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1. 問題の内容

与えられた方程式を解く。

2. 解き方の手順

* ①：$x^3 - 27 = 0$

$x^3 = 27$

$x^3 = 3^3$

$x = 3$

または、$x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)=0$

$x = 3$または$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4(1)(9)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

* ②：$x^4 + x^2 - 20 = 0$

$y = x^2$とおくと、$y^2 + y - 20 = 0$

$(y+5)(y-4) = 0$

$y = -5, 4$

$x^2 = -5, x^2 = 4$

$x = \pm i\sqrt{5}, \pm 2$

* ③：$x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

$P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 4$とおく。

$P(-1) = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$より、$x+1$を因数に持つ。

$x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x+1)(x^2-3x+4)=0$

$x = -1$または$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4(1)(4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

* ④：$2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 = 0$

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$とおく。

$P(1) = 2 - 3 - 5 + 6 = 0$より、$x-1$を因数に持つ。

$2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 = (x-1)(2x^2-x-6) = (x-1)(2x+3)(x-2)=0$

$x = 1, -\frac{3}{2}, 2$

3. 最終的な答え

* ①：$x = 3, \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

* ②：$x = \pm i\sqrt{5}, \pm 2$

* ③：$x = -1, \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

* ④：$x = 1, -\frac{3}{2}, 2$