問題は、以下の5つのパートに分かれています。 1. 2次方程式を解く問題(4問)。

1. 問題の内容

問題は、以下の5つのパートに分かれています。

1. 2次方程式を解く問題(4問)。

2. 2次方程式の解を判別する問題(2問)。

3. 2次方程式が異なる2つの実数解を持つための定数mの範囲を求める問題(1問)。

4. 2次方程式の解と係数の関係についての空欄を埋める問題(2個)。

5. 2次方程式の解$\alpha$, $\beta$を用いて、指定された式の値を求める問題(4問)。

2. 解き方の手順

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1. 2次方程式を解く**

(1) $x^2 - 3x + 1 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $4x^2 - 3x + 1 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{8} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{8}$

(3) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

これは $(2x-3)^2 = 0$ と因数分解できるので、

$2x - 3 = 0$

$x = \frac{3}{2}$

(4) $x^2 - x + 2 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

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2. 2次方程式の解を判別する**

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

$D > 0$ ならば異なる2つの実数解、

$D = 0$ ならば重解、

$D < 0$ ならば異なる2つの虚数解を持ちます。

(1) $3x^2 - x + 2 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(3)(2) = 1 - 24 = -23 < 0$

よって、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $9x^2 + 30x + 25 = 0$

$D = (30)^2 - 4(9)(25) = 900 - 900 = 0$

よって、重解を持つ。

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3. 2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件**

2次方程式 $x^2 - 6x + m - 5 = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-6)^2 - 4(1)(m-5) = 36 - 4m + 20 = 56 - 4m > 0$

$4m < 56$

$m < 14$

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4. 2次方程式の解と係数の関係**

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解が $\alpha$, $\beta$ であるとき、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

したがって、[①]は $-\frac{b}{a}$、[②]は $\frac{c}{a}$ となります。

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5. 解と係数の関係を利用して式の値を求める**

2次方程式 $x^2 - 4x + 6 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = 6$

(1) $\alpha + \beta = 4$

(2) $\alpha \beta = 6$

(3) $(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 6 - 4 + 1 = 3$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 4^2 - 2(6) = 16 - 12 = 4$

3. 最終的な答え

1. (1) $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{8}$

(3) $x = \frac{3}{2}$

(4) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

2. (1) 異なる2つの虚数解を持つ

(2) 重解を持つ

3. $m < 14$

4. ①: $-\frac{b}{a}$, ②: $\frac{c}{a}$

5. (1) 4

(2) 6

(3) 3

(4) 4