2乗すると $3+4i$ となる複素数 $z$ を求める。

1. 問題の内容

2乗すると $3+4i$ となる複素数 $z$ を求める。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x+yi$ (ただし、$x, y$ は実数) とおく。

$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$

これが $3+4i$ に等しいので、

$x^2 - y^2 = 3$ (1)

$2xy = 4$ (2)

(2) より $xy = 2$ なので、$y = \frac{2}{x}$。

これを (1) に代入して、

$x^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$

$x^4 - 4 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

$(x^2 - 4)(x^2 + 1) = 0$

$x$ は実数なので、$x^2 = 4$ より $x = \pm 2$。

$x = 2$ のとき、$y = \frac{2}{2} = 1$。

$x = -2$ のとき、$y = \frac{2}{-2} = -1$。

したがって、$z = 2+i$ または $z = -2-i$。

3. 最終的な答え

$z = 2+i, -2-i$