点PはA(-8, 8)から $y = -x$ 上をx座標が1秒あたり2増加するように動き、点Qは原点から $y = 10x$ 上をx座標が1秒あたり1増加するように動く。時刻$t$における点P, Qの位置を考え、点Pが原点Oに到達する時刻を求め、0<$t$<その時刻の範囲で考える。点P, Qのx座標と同じx軸上の点をP', Q'とし、$\triangle OPP'$と$\triangle OQQ'$の面積の和$S$を$t$で表し、$S$が最小となる$t$の値を求め、$0 < a < $（点PがOに到達する時刻）$- 1$を満たす定数$a$に対し、$a \le t \le a+1$における$S$の最小・最大について、$S$が最小となる$a$の値と、$S$が$t=a$で最大となる$a$の値を求める。

1. 問題の内容

点PはA(-8, 8)から $y = -x$ 上をx座標が1秒あたり2増加するように動き、点Qは原点から $y = 10x$ 上をx座標が1秒あたり1増加するように動く。時刻$t$における点P, Qの位置を考え、点Pが原点Oに到達する時刻を求め、0<$t$<その時刻の範囲で考える。点P, Qのx座標と同じx軸上の点をP', Q'とし、$\triangle OPP'$と$\triangle OQQ'$の面積の和$S$を$t$で表し、$S$が最小となる$t$の値を求め、$0 < a <$（点PがOに到達する時刻）$- 1$を満たす定数$a$に対し、$a \le t \le a+1$における$S$の最小・最大について、$S$が最小となる$a$の値と、$S$が$t=a$で最大となる$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pが原点に到達する時刻を求める。点PはA(-8, 8)から出発し、x座標が1秒あたり2増加するので、$t$秒後のPのx座標は$-8 + 2t$である。点Pが原点に到達するのは$-8 + 2t = 0$のときなので、$t = 4$。したがって、アには4が入る。

次に、点Pと点Qの座標を求める。点Pは$y = -x$上をx座標が1秒あたり2増加するので、Pの座標は$(-8+2t, 8-2t)$である。点Qは$y = 10x$上をx座標が1秒あたり1増加するので、Qの座標は$(t, 10t)$である。

$\triangle OPP'$の面積は$\frac{1}{2} \times |(-8+2t)| \times |8-2t| = \frac{1}{2} (-8+2t)^2 = 2(t-4)^2 = 2(t^2 - 8t + 16) = 2t^2 - 16t + 32$

$\triangle OQQ'$の面積は$\frac{1}{2} \times |t| \times |10t| = 5t^2$

したがって、$S = 2t^2 - 16t + 32 + 5t^2 = 7t^2 - 16t + 32$。イには7、ウエには16、オカには32が入る。

$S$を平方完成すると、$S = 7(t^2 - \frac{16}{7}t) + 32 = 7(t - \frac{8}{7})^2 - 7(\frac{8}{7})^2 + 32 = 7(t - \frac{8}{7})^2 - \frac{64}{7} + 32 = 7(t - \frac{8}{7})^2 + \frac{160}{7}$。

$S$は$t = \frac{8}{7}$で最小値$\frac{160}{7}$をとる。したがって、キには8、クには7、ケコサには160、シには7が入る。

$0 < a < 3$において、$a \le t \le a+1$における$S$の最小・最大について考える。$S$が$t = \frac{8}{7}$で最小となるのは、$a \le \frac{8}{7} \le a+1$となるときなので、$a \le \frac{8}{7}$かつ$a \ge \frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7}$。したがって、$\frac{1}{7} \le a \le \frac{8}{7}$。$a = \frac{1}{8}$はこれに当てはまらないので、不適。$S$が$t=\frac{8}{7}$で最小となる$a$の値はないので、該当する選択肢はない.しかし、Sが$t=a$で最大となるのは、軸$t=\frac{8}{7}$から遠いほうなので、$a=1$のとき$a$と$a+1=2$の$t=\frac{8}{7}$からの距離がほぼ同じとなるので、$t=a$で最大になる可能性がある。

$a+1 = \frac{8}{7}$のとき、$a = \frac{1}{7}$

$a=\frac{8}{7}$のとき、$a+1 = \frac{15}{7}$

$S$が$t = a$で最大となるのは、$a = 1$のとき、$a = 1$とすると、$S(1) = 7 - 16 + 32 = 23$, $S(2) = 7 \times 4 - 16 \times 2 + 32 = 28 - 32 + 32 = 28$

$S$が$t = a$で最大となる$a$の値は1。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 7

ウエ = 16

オカ = 32

キ = 8

ク = 7

ケコサ = 160

シ = 7

ス = 0 (1/8)

セ = 1 (1)