与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

* $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の有理化：

分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

* $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の有理化：

分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

次に、有理化した2つの分数を足し合わせます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$