$n$ 次の列ベクトル $u_1, \dots, u_r, v_1, \dots, v_s, w$ について、$w$ が $v_1, \dots, v_s$ の 1 次結合で表され、かつ $v_1, \dots, v_s$ の各ベクトルが $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されるとき、$w$ が $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されることを示す。

1. 問題の内容

$n$ 次の列ベクトル $u_1, \dots, u_r, v_1, \dots, v_s, w$ について、$w$ が $v_1, \dots, v_s$ の 1 次結合で表され、かつ $v_1, \dots, v_s$ の各ベクトルが $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されるとき、$w$ が $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$w$ が $v_1, \dots, v_s$ の 1 次結合で表されることから、あるスカラー $c_1, \dots, c_s$ が存在して、次のように書ける。

$w = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_s v_s$

次に、$v_i$ ($i = 1, \dots, s$) が $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されることから、あるスカラー $a_{i1}, \dots, a_{ir}$ が存在して、次のように書ける。

$v_i = a_{i1} u_1 + a_{i2} u_2 + \dots + a_{ir} u_r$

この式を、$w$ の式に代入する。

$w = c_1 (a_{11} u_1 + a_{12} u_2 + \dots + a_{1r} u_r) + c_2 (a_{21} u_1 + a_{22} u_2 + \dots + a_{2r} u_r) + \dots + c_s (a_{s1} u_1 + a_{s2} u_2 + \dots + a_{sr} u_r)$

この式を整理して、$u_1, \dots, u_r$ でまとめると、

$w = (c_1 a_{11} + c_2 a_{21} + \dots + c_s a_{s1}) u_1 + (c_1 a_{12} + c_2 a_{22} + \dots + c_s a_{s2}) u_2 + \dots + (c_1 a_{1r} + c_2 a_{2r} + \dots + c_s a_{sr}) u_r$

ここで、$b_j = c_1 a_{1j} + c_2 a_{2j} + \dots + c_s a_{sj}$ ($j = 1, \dots, r$) とおくと、

$w = b_1 u_1 + b_2 u_2 + \dots + b_r u_r$

これは、$w$ が $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表されることを意味する。

3. 最終的な答え

$w$ は $u_1, \dots, u_r$ の 1 次結合で表される。