(1) 2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。 (2) $a, b$ を実数とするとき、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が $x = 1 - 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

(2) $a, b$ を実数とするとき、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が $x = 1 - 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (\frac{5}{2})^2 - 2 \times 2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25 - 16}{4} = \frac{9}{4}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{4}$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = \frac{5}{2}((\frac{5}{2})^2 - 3 \times 2) = \frac{5}{2}(\frac{25}{4} - 6) = \frac{5}{2}(\frac{25 - 24}{4}) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

(2)

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数係数であるので、解の一つが $x = 1 - 2i$ ならば、もう一つの解は $x = 1 + 2i$ である。

解と係数の関係より

$(1 - 2i) + (1 + 2i) = -a$

$(1 - 2i)(1 + 2i) = b$

$2 = -a$ より $a = -2$

$1 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$ より $b = 5$

3. 最終的な答え

(1)

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{9}{4}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{5}{4}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{8}$

(2)

$a = -2$

$b = 5$