与えられた多項式を因数定理を用いて因数分解する問題です。各式は以下の通りです。 (1) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$ (2) $x^3 - 3x + 2$ (3) $4x^3 - 13x - 6$ (4) $x^4 + x^3 - 5x^2 - 3x + 2$ (5) $6x^4 - 11x^3 - 30x^2 + 29x - 6$

はい、承知いたしました。因数定理を使って、以下の各式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数定理を用いて因数分解する問題です。各式は以下の通りです。

(1) $x^3 + 2x^2 + 3x + 2$

(2) $x^3 - 3x + 2$

(3) $4x^3 - 13x - 6$

(4) $x^4 + x^3 - 5x^2 - 3x + 2$

(5) $6x^4 - 11x^3 - 30x^2 + 29x - 6$

2. 解き方の手順

因数定理とは、$P(a) = 0$ならば、$P(x)$は$(x-a)$を因数に持つという定理です。

(1) $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 2$

$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0$

したがって、$(x+1)$は$P(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$P(x)$を$(x+1)$で割ると、

$x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x^2 + x + 2)$

$x^2 + x + 2$は実数の範囲で因数分解できません。

(2) $P(x) = x^3 - 3x + 2$

$P(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

したがって、$(x-1)$は$P(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$P(x)$を$(x-1)$で割ると、

$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2)$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

したがって、$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)$

(3) $P(x) = 4x^3 - 13x - 6$

$P(2) = 4(2)^3 - 13(2) - 6 = 4(8) - 26 - 6 = 32 - 26 - 6 = 0$

したがって、$(x-2)$は$P(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$P(x)$を$(x-2)$で割ると、

$4x^3 - 13x - 6 = (x-2)(4x^2 + 8x + 3)$

$4x^2 + 8x + 3 = (2x+1)(2x+3)$

したがって、$4x^3 - 13x - 6 = (x-2)(2x+1)(2x+3)$

(4) $P(x) = x^4 + x^3 - 5x^2 - 3x + 2$

$P(1) = (1)^4 + (1)^3 - 5(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 + 1 - 5 - 3 + 2 = -4 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 5(-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 - 1 - 5 + 3 + 2 = 0$

したがって、$(x+1)$は$P(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$P(x)$を$(x+1)$で割ると、

$x^4 + x^3 - 5x^2 - 3x + 2 = (x+1)(x^3 - 5x + 2)$

$Q(x) = x^3 - 5x + 2$とおくと、

$Q(2) = (2)^3 - 5(2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$

したがって、$(x-2)$は$Q(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$Q(x)$を$(x-2)$で割ると、

$x^3 - 5x + 2 = (x-2)(x^2 + 2x - 1)$

したがって、$x^4 + x^3 - 5x^2 - 3x + 2 = (x+1)(x-2)(x^2 + 2x - 1)$

$x^2 + 2x - 1$は実数の範囲で因数分解できません。

(5) $P(x) = 6x^4 - 11x^3 - 30x^2 + 29x - 6$

$P(1) = 6 - 11 - 30 + 29 - 6 = -12 \neq 0$

$P(-1) = 6 + 11 - 30 - 29 - 6 = -48 \neq 0$

$P(2) = 6(16) - 11(8) - 30(4) + 29(2) - 6 = 96 - 88 - 120 + 58 - 6 = -60 \neq 0$

$P(3) = 6(81) - 11(27) - 30(9) + 29(3) - 6 = 486 - 297 - 270 + 87 - 6 = 0$

したがって、$(x-3)$は$P(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$P(x)$を$(x-3)$で割ると、

$6x^4 - 11x^3 - 30x^2 + 29x - 6 = (x-3)(6x^3 + 7x^2 - 9x + 2)$

$Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2$とおくと、

$Q(1/2) = 6(1/8) + 7(1/4) - 9(1/2) + 2 = 3/4 + 7/4 - 9/2 + 2 = 10/4 - 18/4 + 8/4 = 0$

したがって、$(x-1/2)$、つまり$(2x-1)$は$Q(x)$の因数です。

筆算または組み立て除法を用いて、$Q(x)$を$(2x-1)$で割ると、

$6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (2x-1)(3x^2 + 5x - 2)$

$3x^2 + 5x - 2 = (3x-1)(x+2)$

したがって、$6x^4 - 11x^3 - 30x^2 + 29x - 6 = (x-3)(2x-1)(3x-1)(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)(x^2+x+2)$

(2) $(x-1)^2(x+2)$

(3) $(x-2)(2x+1)(2x+3)$

(4) $(x+1)(x-2)(x^2+2x-1)$

(5) $(x-3)(2x-1)(3x-1)(x+2)$