AとBが共にべき零行列であり、かつ可換であるとき、積ABもべき零行列であることを証明せよ。

1. 問題の内容

AとBが共にべき零行列であり、かつ可換であるとき、積ABもべき零行列であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

べき零行列の定義から、ある正の整数 $m$ と $n$ が存在し、

$A^m = 0$

$B^n = 0$

が成り立つ。ここで、$A$ と $B$ は可換なので、$AB = BA$ が成り立つ。

積 $AB$ がべき零行列であることを示すには、ある正の整数 $k$ が存在し、

$(AB)^k = 0$

となることを示せば良い。

$k = m + n$ とすると、

$(AB)^{m+n} = (AB)^m (AB)^n = A^m B^m A^n B^n$

可換性より、$A$と$B$の順番は自由に入れ替えられるので、

$(AB)^{m+n} = A^{m+n} B^{m+n}$

より一般的な

$(AB)^k = A^k B^k$

は成り立たないことに注意が必要である。

$A$と$B$が可換であることと二項定理を用いる。

$(A+B)^k = \sum_{i=0}^{k} {}_k C_i A^i B^{k-i}$

ここで、$A$と$B$の順番は重要ではない。

$k=m+n$とおくと、

$(AB)^{m+n} = (AB)(AB) \dots (AB)$ ($m+n$個)

$= A(BA)(BA)\dots (BA)B$ ($m+n-2$個)

$= A^2(BA)(BA)\dots (BA)B^2$ ($m+n-4$個)

$= A^{m+n} B^{m+n}$

この変形は一般には成り立たない。

しかし、可換性により、$(AB)^k = (AB)(AB)\dots(AB)$ から、$A$を全て左に集めて、$B$を全て右に集めることができる。

$AB = BA$が成り立つので、$(AB)^n = A^n B^n$ となる。

ここで、$(AB)^{mn} = A^{mn} B^{mn} = (A^{m})^n (B^{n})^m = 0^n 0^m = 0 \cdot 0 = 0$

したがって、$AB$ もべき零行列である。

3. 最終的な答え

ABもべき零行列である。