多項式 $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ を多項式 $x^2 - 1$ で割った結果を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ を多項式 $x^2 - 1$ で割った結果を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の長除法を実行します。

まず、$x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ を $x^2 - 1$ で割ることを考えます。

1. $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ の最高次の項 $x^4$ を、$x^2 - 1$ の最高次の項 $x^2$ で割ります。

$x^4 / x^2 = x^2$

2. $x^2 - 1$ に $x^2$ を掛けます。

$x^2 (x^2 - 1) = x^4 - x^2$

3. $x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ から $x^4 - x^2$ を引きます。

$(x^4 - x^3 + x^2 + x - 2) - (x^4 - x^2) = -x^3 + 2x^2 + x - 2$

4. $-x^3 + 2x^2 + x - 2$ の最高次の項 $-x^3$ を、$x^2 - 1$ の最高次の項 $x^2$ で割ります。

$-x^3 / x^2 = -x$

5. $x^2 - 1$ に $-x$ を掛けます。

$-x (x^2 - 1) = -x^3 + x$

6. $-x^3 + 2x^2 + x - 2$ から $-x^3 + x$ を引きます。

$(-x^3 + 2x^2 + x - 2) - (-x^3 + x) = 2x^2 - 2$

7. $2x^2 - 2$ の最高次の項 $2x^2$ を、$x^2 - 1$ の最高次の項 $x^2$ で割ります。

$2x^2 / x^2 = 2$

8. $x^2 - 1$ に $2$ を掛けます。

$2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2$

9. $2x^2 - 2$ から $2x^2 - 2$ を引きます。

$(2x^2 - 2) - (2x^2 - 2) = 0$

したがって、$x^4 - x^3 + x^2 + x - 2$ を $x^2 - 1$ で割った商は $x^2 - x + 2$ で、余りは $0$ です。

3. 最終的な答え

$x^2 - x + 2$