長机に立体作品を並べる問題で、最初に1台あたり4個ずつ並べようとしたが15個足りず、次に5個ずつ並べ直したところ最後の長机には2個だけになった。太郎さんと花子さんがそれぞれ長机の台数と立体作品の個数を求めるために考えた解き方について、空欄を埋め、長机の台数と立体作品の個数を求める。

1. 問題の内容

長机に立体作品を並べる問題で、最初に1台あたり4個ずつ並べようとしたが15個足りず、次に5個ずつ並べ直したところ最後の長机には2個だけになった。太郎さんと花子さんがそれぞれ長机の台数と立体作品の個数を求めるために考えた解き方について、空欄を埋め、長机の台数と立体作品の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんの解き方

長机の台数を $x$ 台とすると、1台に5個ずつ並べると、最後の1台には2個だけになるので、5個ずつ並んでいる長机は $(x-1)$ 台。したがって、立体作品の個数は $5(x-1) + 2$ 個となる。

よって、①にあてはまる式は $5(x-1) + 2 = 5x - 5 + 2 = 5x - 3$ である。

(2) 花子さんの解き方

立体作品の個数を $x$ 個とすると、長机は $x-15$ 個足りない。長机1台に4個ずつ並べると$x-15$個並べることができなかったので$x-15$は負の数である。

4個ずつ並べると15個足りないということは長机が$n$台あるとすると$4n+15=x$となる。

一方、5個ずつ並べると最後の長机には2個だけになるので、長机の数は$(x-2)/5 + 1$台と表せる。

$x$個の立体作品を並べるのに必要な長机の数は、5個ずつ並べた場合、

$\frac{x-2}{5} + 1 = \frac{x+3}{5}$となる。

一方、最初に1台あたり4個ずつ並べようとしたが15個足りず、

長机の台数は$\frac{x-15}{4}$台であったと考えられる。

ここで、長机の台数を$n$とすると、

$4n+15=x$

$5(n-1)+2=x$

この連立方程式を解く。

$4n+15 = 5(n-1)+2$

$4n+15 = 5n-5+2$

$4n+15 = 5n-3$

$18=n$

長机の台数は18台。

$x = 4n+15 = 4(18)+15 = 72+15 = 87$

立体作品の個数は87個。

花子さんの解き方では立体作品の個数を $x$ 個として、長机の台数を表すと、

$5n-3 = x$

$n = \frac{x+3}{5}$

一方、

$4n+15=x$

$n = \frac{x-15}{4}$

$\frac{x+3}{5}= \frac{x-15}{4}$

$\frac{x-15}{4}$は、長机の台数$n$を表す式なので、花子さんの解き方では、

$\frac{x-15}{4}$に相当するのは、5個ずつ並べたときの最後の長机を考慮した数になる。最後の長机には2個しか並んでいないので、5個ずつ並んでいる長机の数は$\frac{x-2}{5}$となる。

したがって、長机の総数は $\frac{x-2}{5} + 1 = \frac{x+3}{5}$となる。

②にあてはまる式は $\frac{x+3}{5}$ である。

(3) 長机の台数と立体作品の個数

太郎さんの解き方から、 $4x+15 = 5x-3$ より $x = 18$。立体作品の個数は $4(18) + 15 = 72 + 15 = 87$ 個。

花子さんの解き方から、 $\frac{x-15}{4} = \frac{x+3}{5}$ より $5(x-15) = 4(x+3)$, $5x - 75 = 4x + 12$, $x = 87$。長机の台数は $\frac{87+3}{5} = \frac{90}{5} = 18$ 台。

3. 最終的な答え

(1) $5x-3$

(2) $\frac{x+3}{5}$

(3) 長机の台数: 18台、立体作品の個数: 87個