ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ と $\vec{b} = (-2, 1)$ が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表し、その大きさを求めます。 (1) $3\vec{a}$ (2) $-2\vec{b}$ (3) $4\vec{a} + 3\vec{b}$ (4) $(2\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b})$ (5) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b})$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ と $\vec{b} = (-2, 1)$ が与えられたとき、以下のベクトルを成分で表し、その大きさを求めます。

(1) $3\vec{a}$

(2) $-2\vec{b}$

(3) $4\vec{a} + 3\vec{b}$

(4) $(2\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b})$

(5) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b})$

2. 解き方の手順

ベクトルの成分表示とベクトルの大きさの計算方法を用いて、各問題を解きます。ベクトルのスカラー倍は各成分をスカラー倍し、ベクトルの和・差は対応する成分同士を足し引きします。ベクトルの大きさは、各成分の二乗の和の平方根で求めます。

(1) $3\vec{a} = 3(1, -3) = (3, -9)$

ベクトルの大きさ $|3\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

(2) $-2\vec{b} = -2(-2, 1) = (4, -2)$

ベクトルの大きさ $|-2\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

(3) $4\vec{a} + 3\vec{b} = 4(1, -3) + 3(-2, 1) = (4, -12) + (-6, 3) = (4 - 6, -12 + 3) = (-2, -9)$

ベクトルの大きさ $|4\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$

(4) $(2\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = 2\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} - 2\vec{b} = \vec{a} - \vec{b} = (1, -3) - (-2, 1) = (1 + 2, -3 - 1) = (3, -4)$

ベクトルの大きさ $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

(5) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b}) = 6\vec{a} - 9\vec{b} - 4\vec{a} + 8\vec{b} = 2\vec{a} - \vec{b} = 2(1, -3) - (-2, 1) = (2, -6) - (-2, 1) = (2 + 2, -6 - 1) = (4, -7)$

ベクトルの大きさ $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

3. 最終的な答え

(1) $3\vec{a} = (3, -9)$, $|3\vec{a}| = 3\sqrt{10}$

(2) $-2\vec{b} = (4, -2)$, $|-2\vec{b}| = 2\sqrt{5}$

(3) $4\vec{a} + 3\vec{b} = (-2, -9)$, $|4\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{85}$

(4) $(2\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b}) = (3, -4)$, $|(2\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + 2\vec{b})| = 5$

(5) $3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b}) = (4, -7)$, $|3(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 4(\vec{a} - 2\vec{b})| = \sqrt{65}$