与えられた四次方程式 $x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

与えられた四次方程式 $x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = 0$ を解く。

まず、整数解を探索する。因数定理より、方程式の解の候補は定数項12の約数である$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ である。

$x = -1$ を代入すると、 $(-1)^4 - 9(-1)^2 + 4(-1) + 12 = 1 - 9 - 4 + 12 = 0$ となり、$x = -1$ は解である。

したがって、$x+1$ は因数である。

$x = 2$ を代入すると、 $(2)^4 - 9(2)^2 + 4(2) + 12 = 16 - 36 + 8 + 12 = 0$ となり、$x = 2$ は解である。

したがって、$x-2$ は因数である。

よって、$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$ も因数である。

$x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ を $x^2 - x - 2$ で割ると、

$$x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x^2 - x - 2)(x^2 + x - 6)$$

となる。

したがって、$x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1)(x-2)(x^2 + x - 6) = 0$。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$ なので、

$x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1)(x-2)(x+3)(x-2) = (x+1)(x-2)^2(x+3) = 0$。

よって、解は $x = -1, 2, -3$ である。$x=2$ は重解である。

3. 最終的な答え

$x = -3, -1, 2$ (2は重解)