(a) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ に基本変形を施して $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & x \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & y \end{pmatrix} $ となったときの $x$ と $y$ を求める問題。 (b) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$ の最後の列以外の2×2行列が単位行列となるように基本変形をする問題。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(a) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ に基本変形を施して $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & x \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ となったときの $x$ と $y$ を求める問題。

(b) 行列 $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$ の最後の列以外の2×2行列が単位行列となるように基本変形をする問題。

2. 解き方の手順

(a) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & x \end{pmatrix}$ の変形について考えます。

2行目から1行目の2倍を引くと、2行目の要素が $2-2\times 1 = 0$ となります。

したがって、$-1 - 2 \times 5 = -11$ より、$x = -11$ です。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ の変形は $-11$ を $y$ に変える基本変形です。

単位行列にするという条件はありませんので、$y$ は任意の値をとることができます。問題文に単位行列にするという条件が書かれていないので、$y$ は特定できません。単位行列にするという条件であれば、$y = 1$ で $-11$ で割ることになります。

(b) $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$ の最後の列以外の2×2行列が単位行列となるように基本変形をするということは、$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の形にすることを目指します。

$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に変形するには、行基本変形を繰り返します。

まず、1行目を何倍かして2行目から引いて7を0にすることを考えます。同様に、2行目を何倍かして1行目から引いて3を0にすることを考えます。

ここでは、掃き出し法を用いて、1行1列目を1、2行2列目を1、その他を0にすることを目指します。

まず、1行目を1/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$

次に、2行目から1行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 0 & 11 - (5/3) \times 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 0 & 11 - 35/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 0 & -2/3 \end{pmatrix}$

次に、2行目を-3/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目の5/3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $x = -11$

$y$ は任意の値

(b) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$