$\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$ を有理化せよ。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$ を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} + 2$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$

分子を展開すると：

$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(2) + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

分母を展開すると：

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{1} = 9 + 4\sqrt{5}$

選択肢の中に $9 + 4\sqrt{5}$ がないため、選択肢にあるものを計算して確認します。

ア. $\frac{9 - 4\sqrt{5}}{21}$

イ. $\frac{3}{7}$

ウ. $4\sqrt{5} + 9$

エ. $\frac{1}{7}$

オ. $9$

正解はウです。

3. 最終的な答え

ウ. $4\sqrt{5} + 9$