3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、方程式の解の候補を見つける。定数項は24なので、その約数である $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$ を $x$ に代入して、方程式が成り立つかどうかを調べる。

$x = 2$ を代入すると、

$2^3 - 3(2^2) - 10(2) + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0$

となり、方程式が成り立つ。よって、$x = 2$ は解の一つである。

したがって、$x - 2$ は $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ の因数である。そこで、多項式 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ を $x - 2$ で割る。

```

x^2 - x - 12

x - 2 | x^3 - 3x^2 - 10x + 24

-(x^3 - 2x^2)

-------------

-x^2 - 10x

-(-x^2 + 2x)

-------------

-12x + 24

-(-12x + 24)

-------------

0

```

したがって、

$x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = (x - 2)(x^2 - x - 12)$

となる。

次に、2次方程式 $x^2 - x - 12 = 0$ を解く。

因数分解すると、

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0$

よって、$x = 4$ または $x = -3$

したがって、3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0$ の解は、$x = 2, 4, -3$ となる。

3. 最終的な答え

$x = 2, 4, -3$