数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を利用して求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 5, a_4 = 10, a_5 = 17, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 10 = 7$

階差数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ となり、これは初項1、公差2の等差数列です。

したがって、$b_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 1 = (n-1)^2$

$a_n = 1 + (n-1)^2$

第6項を求めます。

$a_6 = 1 + (6-1)^2 = 1 + 5^2 = 1 + 25 = 26$

第7項を求めます。

$a_7 = 1 + (7-1)^2 = 1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$

3. 最終的な答え

第6項: 26

第7項: 37