多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x+2$ で割ると余りが $9$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x+2$ で割ると余りが $9$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とすると、

$$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax+b$$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

剰余の定理より、

$P(1) = -3$

$P(-2) = 9$

$P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + a(1) + b = a+b = -3$

$P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + a(-2) + b = -2a+b = 9$

連立方程式を解く。

$a+b=-3$

$-2a+b=9$

上の式から下の式を引くと、

$(a+b) - (-2a+b) = -3 - 9$

$3a = -12$

$a = -4$

$b = -3 - a = -3 - (-4) = 1$

したがって、求める余りは $-4x+1$

3. 最終的な答え

$-4x+1$