以下の(1)～(6)の文中の空欄に、選択肢(1)～(4)の中から適切なものを選びます。ここで、$x, y$ は実数です。 (1) 「$x > 0$」は「$x \ge 0$」のための [ ] (2) 「$x = 0$」は「$x^2 + y^2 = 0$」のための [ ] (3) 「$xy = 0$」は「$x = 0$ かつ $y = 0$」のための [ ] (4) 「$x^2 + y^2 = 1$」は「$x + y = 0$」のための [ ] (5) 「すべての $x$ について $xy = 0$ である」は「$y = 0$」のための [ ] (6) 「$(xy)^2$ が無理数である」は「$x$ または $y$ が無理数である」のための [ ] 選択肢： (1) 必要十分条件である。 (2) 十分条件であるが必要条件ではない。 (3) 必要条件であるが十分条件ではない。 (4) 必要条件でも十分条件でもない。

1. 問題の内容

以下の(1)～(6)の文中の空欄に、選択肢(1)～(4)の中から適切なものを選びます。ここで、$x, y$ は実数です。

(1) 「$x > 0$」は「$x \ge 0$」のための [ ]

(2) 「$x = 0$」は「$x^2 + y^2 = 0$」のための [ ]

(3) 「$xy = 0$」は「$x = 0$ かつ $y = 0$」のための [ ]

(4) 「$x^2 + y^2 = 1$」は「$x + y = 0$」のための [ ]

(5) 「すべての $x$ について $xy = 0$ である」は「$y = 0$」のための [ ]

(6) 「$(xy)^2$ が無理数である」は「$x$ または $y$ が無理数である」のための [ ]

選択肢：

(1) 必要十分条件である。

(2) 十分条件であるが必要条件ではない。

(3) 必要条件であるが十分条件ではない。

(4) 必要条件でも十分条件でもない。

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ ならば $x \ge 0$ は成り立ちますが、$x \ge 0$ でも $x < 0$ の場合があるので、$x > 0$ は $x \ge 0$ の十分条件ですが必要条件ではありません。よって、答えは (2) です。

(2) $x = 0$ ならば $x^2 + y^2 = 0$ となるためには $y = 0$ である必要があります。しかし、$x^2 + y^2 = 0$ ならば $x = 0$ かつ $y = 0$ であるので、$x = 0$ です。したがって、$x = 0$ は $x^2 + y^2 = 0$ の必要条件ですが、十分条件ではありません。よって、答えは (3) です。

(3) $xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ です。$x = 0$ かつ $y = 0$ ならば $xy = 0$ です。したがって、$xy = 0$ は $x = 0$ かつ $y = 0$ の必要条件ですが、十分条件ではありません。よって、答えは (3) です。

(4) $x^2 + y^2 = 1$ ならば、$x + y = 0$ とは限りません。たとえば、$x = 1, y = 0$ とすると、$x^2 + y^2 = 1$ ですが、$x + y = 1$ です。逆に、$x + y = 0$ ならば、$y = -x$ なので、$x^2 + (-x)^2 = 1$、すなわち、$2x^2 = 1$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。よって、$x^2 + y^2 = 1$ となります。したがって、$x^2 + y^2 = 1$ は $x + y = 0$ の必要条件でも十分条件でもありません。よって、答えは (4) です。

(5) 「すべての $x$ について $xy = 0$ である」ならば、$x = 1$ を代入すると、$y = 0$ となります。逆に、$y = 0$ ならば、すべての $x$ について $xy = 0$ です。したがって、「すべての $x$ について $xy = 0$ である」は「$y = 0$」の必要十分条件です。よって、答えは (1) です。

(6) $(xy)^2$ が無理数であるならば、$xy$ は無理数です。このとき、$x$ または $y$ が無理数であるとは限りません。たとえば、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ とすると、$xy = 2$ となり、$(xy)^2 = 4$ は有理数です。しかし、$x = \sqrt[4]{2}, y = \sqrt[4]{2}$ とすると、$(xy)^2= (\sqrt{2})^2=2$で有理数です。一方で、$x=\sqrt{2}$かつ$y=1$であれば$(xy)^2=2$で無理数になります。

「$x$ または $y$ が無理数である」ならば、「$(xy)^2$ が無理数である」とは限りません。たとえば、$x = \sqrt{2}, y = \sqrt{2}$ のとき、x,yは無理数ですが、$(xy)^2 = 4$ は有理数です。したがって、「$(xy)^2$ が無理数である」は「$x$ または $y$ が無理数である」の必要条件でも十分条件でもありません。よって、答えは (4) です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 3

(4) 4

(5) 1

(6) 4