複素数 $z$ について、$z^3 = 8i$ を満たす $z$ を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、$z^3 = 8i$ を満たす $z$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$8i$ を極形式で表します。

$8i = 8(\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}})$ と表せます。

次に、$z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおきます。

このとき、$z^3 = r^3 (\cos{3\theta} + i\sin{3\theta})$ となります。

$z^3 = 8i$ なので、$r^3 (\cos{3\theta} + i\sin{3\theta}) = 8(\cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}})$ が成り立ちます。

よって、$r^3 = 8$ より、$r = 2$ が得られます。

また、$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数) より、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$ が得られます。

$n = 0, 1, 2$ を代入すると、それぞれ以下のようになります。

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$n = 2$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

したがって、$z = 2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}}), 2(\cos{\frac{5\pi}{6}} + i\sin{\frac{5\pi}{6}}), 2(\cos{\frac{3\pi}{2}} + i\sin{\frac{3\pi}{2}})$ となります。

これを計算すると、

$2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$

$2(\cos{\frac{5\pi}{6}} + i\sin{\frac{5\pi}{6}}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

$2(\cos{\frac{3\pi}{2}} + i\sin{\frac{3\pi}{2}}) = 2(0 - i) = -2i$

3. 最終的な答え

$z = \sqrt{3} + i, -\sqrt{3} + i, -2i$