与えられた4つの4次元ベクトル $a_1, a_2, a_3, b$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 3次元ベクトル $x = (x, y, z)$ に対し、$f(x) = xa_1 + ya_2 + za_3$ で定義される線形写像 $f$ の表現行列を求めます。 (2) $f(x) = b$ を満たす $x$ が高々一つしか存在しないための条件を求めます。 (3) (2)の条件が満たされないとき、 (a) $f(x) = b$ が解を持つ条件とその時の解を求めます。 (b) $a_1, a_2, a_3$ が満たす非自明な関係式を一つ挙げ、この関係式が $a_1, a_2, a_3$ の配置について何を表しているか説明します。 (c) (a)で答えた条件を満たす $b$ 全体がなす図形を求めます。 (d) (2)の条件を解き、(任意定数を取り換えることで) (c)の結果を確かめます。 (4) (2)の条件が満たされるか否かに関わらず、$f(x)=b$は一般に必ず解を持つか述べます。

1. 問題の内容

与えられた4つの4次元ベクトル $a_1, a_2, a_3, b$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 3次元ベクトル $x = (x, y, z)$ に対し、$f(x) = xa_1 + ya_2 + za_3$ で定義される線形写像 $f$ の表現行列を求めます。

(2) $f(x) = b$ を満たす $x$ が高々一つしか存在しないための条件を求めます。

(3) (2)の条件が満たされないとき、

(a) $f(x) = b$ が解を持つ条件とその時の解を求めます。

(b) $a_1, a_2, a_3$ が満たす非自明な関係式を一つ挙げ、この関係式が $a_1, a_2, a_3$ の配置について何を表しているか説明します。

(c) (a)で答えた条件を満たす $b$ 全体がなす図形を求めます。

(d) (2)の条件を解き、(任意定数を取り換えることで) (c)の結果を確かめます。

(4) (2)の条件が満たされるか否かに関わらず、$f(x)=b$は一般に必ず解を持つか述べます。

2. 解き方の手順

(1) 線形写像 $f(x) = xa_1 + ya_2 + za_3$ の表現行列を $A$ とすると、$A = (a_1 \ a_2 \ a_3)$ となります。したがって、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & a \\ -3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $f(x) = b$ の解が高々一つしかないための条件は、$A$ の列ベクトル $a_1, a_2, a_3$ が線形独立であることです。つまり、$\text{rank}(A) = 3$ となることです。

$A$の第1列、第2列、第3列からなる小行列式のうち、少なくとも一つが0でないことが条件です。例えば、上から3行からなる正方行列の行列式を計算すると、

$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(0-3) - 2(-a+6) + 4(-1-0) = -6 + 2a - 12 -4 = 2a - 22$.

$2a - 22 \neq 0$ つまり、$a \neq 11$のとき、解が高々一つしかありません。

(3) (a) (2)の条件が満たされないとき、つまり $a=11$ のとき、$f(x)=b$ が解を持つ条件を求めます。$A$ に $b$ を加えた拡大行列 $(A \ b)$ を作ります。解を持つ条件は $\text{rank}(A) = \text{rank}(A \ b)$ となることです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 11 \\ -3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

$\text{rank}(A) < 3$ なので、解を持つためには $b$ が $a_1, a_2, a_3$ の線形結合で表される必要があります。

$f(x) = b$ は以下の連立一次方程式と同値です。

$2x + 2y + 4z = b_1$

$-x + 0y + 3z = b_2$

$-2x + y + 11z = b_3$

$-3x - y + 4z = b_4$

この連立一次方程式が解を持つ条件を求めます。

$2x + 2y + 4z = b_1$

$x = 3z - b_2$

$-2(3z - b_2) + y + 11z = b_3$

$-3(3z - b_2) - y + 4z = b_4$

$y = b_3 + 6z - 2b_2 - 11z = b_3 - 2b_2 -5z$

$-9z + 3b_2 - (b_3 - 2b_2 - 5z) + 4z = b_4$

$-9z + 3b_2 - b_3 + 2b_2 + 5z + 4z = b_4$

$5b_2 - b_3 = b_4$

$b_4 - 5b_2 + b_3 = 0$

$2(3z - b_2) + 2(b_3 - 2b_2 - 5z) + 4z = b_1$

$6z - 2b_2 + 2b_3 - 4b_2 - 10z + 4z = b_1$

$2b_3 - 6b_2 = b_1$

$b_1 + 6b_2 - 2b_3 = 0$

解を持つ条件は、 $b_1 + 6b_2 - 2b_3 = 0$ かつ $b_4 - 5b_2 + b_3 = 0$ が成り立つことです。

このとき、$x = 3z - b_2$, $y = b_3 - 2b_2 - 5z$ なので、解は $(3z - b_2, b_3 - 2b_2 - 5z, z)$ (zは任意)となります。

(3) (b) $a=11$のとき、$a_1, a_2, a_3$ が満たす関係式を求めます。

$a_3 = \alpha a_1 + \beta a_2$ とおくと、

$\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 11 \\ 4 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$2\alpha + 2\beta = 4$

$-\alpha = 3$

$-2\alpha + \beta = 11$

$-3\alpha - \beta = 4$

$\alpha = -3$

$2(-3) + 2\beta = 4$, $2\beta = 10$, $\beta = 5$

$-2(-3) + 5 = 11$

$-3(-3) - 5 = 4$

したがって、$a_3 = -3a_1 + 5a_2$

$3a_1 - 5a_2 + a_3 = 0$

この関係式は、$a_1, a_2, a_3$ が同一平面上にあることを表しています。

(3) (c) $a=11$のとき、(a)の条件は $b_1 + 6b_2 - 2b_3 = 0$ かつ $b_4 - 5b_2 + b_3 = 0$でした。これは4次元空間内の2つの超平面の交わりを表すので、2次元平面となります。

(3) (d) $a = 11$のとき $A$の階数は2であり、解を持つためには条件 $b_1+6b_2-2b_3=0$ かつ $b_4-5b_2+b_3 = 0$ が必要です。

解は $x = 3z - b_2, y = b_3 - 2b_2 - 5z$ より、

$x = (3z - b_2)a_1 + (b_3 - 2b_2 - 5z)a_2 + za_3$

$x = z(3a_1 - 5a_2 + a_3) - b_2a_1 + (b_3 - 2b_2)a_2$

$x = - b_2a_1 + (b_3 - 2b_2)a_2$ （∵ $3a_1 - 5a_2 + a_3 = 0$)

(4) $f(x)=b$が一般に必ず解を持つかどうか。

(2)で$a \neq 11$ の時、$A$のランクは３なので、解が一意に定まります。

(3)で$a = 11$ の時、解を持つための条件は、$b_1 + 6b_2 - 2b_3 = 0$ かつ $b_4 - 5b_2 + b_3 = 0$でした。したがって、$b$ がこれらの条件を満たさない場合、解は存在しません。

結論として、方程式$f(x)=b$は、一般には必ず解を持つとは限りません。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & a \\ -3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $a \neq 11$

(3) (a) $b_1 + 6b_2 - 2b_3 = 0$ かつ $b_4 - 5b_2 + b_3 = 0$, 解は $(3z - b_2, b_3 - 2b_2 - 5z, z)$ (zは任意)

(b) $3a_1 - 5a_2 + a_3 = 0$, $a_1, a_2, a_3$ は同一平面上にある

(c) 2次元平面

(d) 確認済み

(4) 一般には必ず解を持つとは限らない