次の式を計算します。 $\frac{8}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-24} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{8}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-24} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を簡単にします。

$\sqrt[6]{9} = (9)^{\frac{1}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{-24} = \sqrt[3]{-8 \cdot 3} = \sqrt[3]{-8} \cdot \sqrt[3]{3} = -2\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{8}{3} \sqrt[3]{3} + (-2\sqrt[3]{3}) + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

$= \frac{8}{3} \sqrt[3]{3} - 2 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{3}$

$= (\frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3}) \sqrt[3]{3}$

$= (\frac{8}{3} - \frac{6}{3} + \frac{1}{3}) \sqrt[3]{3}$

$= (\frac{8-6+1}{3}) \sqrt[3]{3}$

$= \frac{3}{3} \sqrt[3]{3}$

$= \sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{3}$