関数 $y = x^2 - 2x + 1$ について、定義域が $a \le x \le a+1$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値の範囲に応じて、この関数の最小値を求めます。 (2) $a$ の値の範囲に応じて、この関数の最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + 1$ について、定義域が $a \le x \le a+1$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値の範囲に応じて、この関数の最小値を求めます。

(2) $a$ の値の範囲に応じて、この関数の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

これは、頂点が $(1, 0)$ の下に凸な放物線です。

(1) 最小値を求める場合：

定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x=1$ の位置関係に注意して場合分けを行います。

[1] $a < 0$ のとき:

$a+1 < 1$ なので、軸 $x=1$ は定義域よりも右側にあります。したがって、定義域の右端 $x=a+1$ で最小値をとります。

$y = (a+1-1)^2 = a^2$

[2] $0 \le a < 1$ のとき:

このとき、$a \le 1 \le a+1$ となり、軸 $x=1$ が定義域に含まれます。したがって、頂点 $x=1$ で最小値をとります。

$y = (1-1)^2 = 0$

[3] $1 \le a$ のとき:

$1 < a$ なので、軸 $x=1$ は定義域よりも左側にあります。したがって、定義域の左端 $x=a$ で最小値をとります。

$y = (a-1)^2$

(2) 最大値を求める場合：

軸 $x=1$ から定義域の両端 $x=a$ と $x=a+1$ がどれだけ離れているかを比較します。

[1] $a < \frac{1}{2}$ のとき:

$a < \frac{1}{2}$ より $a - 1 < -\frac{1}{2}$ であり、$a+1-1 = a < \frac{1}{2}$ なので、$|a-1| > |a|$ となり、$x=a$ の方が軸から離れています。したがって、 $x=a$ で最大値を取ります。

$y = (a-1)^2$

[2] $a = \frac{1}{2}$ のとき:

このとき、$a-1 = -\frac{1}{2}$ 、$a+1 = \frac{3}{2}$ となり、$|a-1| = |a+1-1| = \frac{1}{2}$ なので、軸から $x=a$ と $x=a+1$ の距離が等しくなります。したがって、 $x=a$ と $x=a+1$ で同じ最大値をとります。

$y = (a-1)^2 = (\frac{1}{2}-1)^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

または

$y = (a+1-1)^2 = a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

[3] $\frac{1}{2} < a$ のとき:

$\frac{1}{2} < a$ より $a - 1 > -\frac{1}{2}$ であり、$a+1-1 = a > \frac{1}{2}$ なので、$|a-1| < |a|$ となり、$x=a+1$ の方が軸から離れています。したがって、$x=a+1$ で最大値をとります。

$y = (a+1-1)^2 = a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

[1] $a < 0$ のとき: $a^2$

[2] $0 \le a < 1$ のとき: $0$

[3] $1 \le a$ のとき: $(a-1)^2$

(2) 最大値

[1] $a < \frac{1}{2}$ のとき: $(a-1)^2$

[2] $a = \frac{1}{2}$ のとき: $\frac{1}{4}$

[3] $\frac{1}{2} < a$ のとき: $a^2$