関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \leq x \leq 1$ における最大値が7となるように、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \leq x \leq 1$ における最大値が7となるように、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) + c$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 + c$

これは、頂点が $(-1, -2+c)$ で、下に凸の放物線である。

定義域 $-2 \leq x \leq 1$ における最大値を考える。

軸 $x = -1$ は定義域に含まれている。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2)^2 + 4(-2) + c = 8 - 8 + c = c$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) + c = 2 + 4 + c = 6 + c$

$x=1$ のとき $y = 6+c$ であり、$x=-2$ のとき $y=c$ である。

軸は $x=-1$ であり、下に凸の関数であるため、定義域の端点である $x=1$ で最大値をとる。

したがって、

$6 + c = 7$

3. 最終的な答え

$c = 1$