与えられた数式 $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ を解け、という問題です。正確には、この式が実数として定義されるための $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ を解け、という問題です。正確には、この式が実数として定義されるための $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

根号の中身が0以上になる条件を考えます。つまり、

$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \ge 0$

となる $x$ の範囲を求めます。

まず、分子と分母が0になる $x$ の値を求めます。それらは、$x=1, 2, 3, 4$ です。

これらの値を数直線上にプロットし、区間を分割します。

各区間において、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$ の符号を調べます。

* $x < 1$ のとき、$(x-1), (x-2), (x-3), (x-4)$ はいずれも負なので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$

* $1 < x < 2$ のとき、$(x-1)$ は正、$(x-2), (x-3), (x-4)$ は負なので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$

* $2 < x < 3$ のとき、$(x-1), (x-2)$ は正、$(x-3), (x-4)$ は負なので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$

* $3 < x < 4$ のとき、$(x-1), (x-2), (x-3)$ は正、$(x-4)$ は負なので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$

* $x > 4$ のとき、$(x-1), (x-2), (x-3), (x-4)$ はいずれも正なので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$

また、$x=1$ と $x=2$ のときは分子が0になるので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} = 0$ となり、条件を満たします。

$x=3$ と $x=4$ のときは分母が0になるので、$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$ は定義されません。

したがって、求める $x$ の範囲は次のようになります。

$x \le 1$ または $2 \le x < 3$ または $x > 4$

3. 最終的な答え

$x \le 1$ または $2 \le x < 3$ または $x > 4$