与えられた式 $(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}})^2$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}})^2$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、平方根と二乗が互いに打ち消しあうことを利用します。つまり、$(\sqrt{a})^2 = a$ が成り立ちます。したがって、与えられた式は次のようになります。

$(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}})^2 = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$

次に、分子と分母を展開します。

分子: $(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

分母: $(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 7x + 12}$

これ以上簡略化できるかを確認します。分子と分母を因数分解すると、

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$

これは元の式と同じなので、これ以上簡略化できません。

3. 最終的な答え

$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$

または

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 7x + 12}$