$a > 0$ のとき、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が15、最小値が-3である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が15、最小値が-3である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

\begin{align*}

y &= ax^2 - 4ax + b \\

&= a(x^2 - 4x) + b \\

&= a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b \\

&= a(x - 2)^2 - 4a + b

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(2, -4a + b)$ である。

軸は $x = 2$ であり、$0 \le x \le 5$ の範囲に含まれている。

$a > 0$ であるから、下に凸のグラフである。よって、$x = 2$ で最小値を取り、$x = 5$ で最大値を取る。

最小値は $y = -4a + b = -3$

最大値は $x = 5$ のとき、$y = a(5^2) - 4a(5) + b = 25a - 20a + b = 5a + b = 15$

したがって、次の連立方程式を解けばよい。

\begin{align*}

-4a + b &= -3 \\

5a + b &= 15

\end{align*}

2番目の式から1番目の式を引くと、

$5a + b - (-4a + b) = 15 - (-3)$

$9a = 18$

$a = 2$

これを $-4a + b = -3$ に代入すると、

$-4(2) + b = -3$

$-8 + b = -3$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 5$