(1) $5x + 8y = 139$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。 (2) $3a + 2b + c = 12$ を満たす自然数の組 $(a, b, c)$ の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $5x + 8y = 139$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。

(2) $3a + 2b + c = 12$ を満たす自然数の組 $(a, b, c)$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$5x + 8y = 139$ の整数解を1つ見つける。

$5x = 139 - 8y$ より、$x = \frac{139 - 8y}{5} = \frac{139 - 8y}{5}$

$y = 2$ のとき、$x = \frac{139 - 16}{5} = \frac{123}{5}$ となり整数とならない。

$y = 3$ のとき、$x = \frac{139 - 24}{5} = \frac{115}{5} = 23$

よって、$(x, y) = (23, 3)$ は $5x + 8y = 139$ の整数解の1つである。

$5x + 8y = 139$

$5(23) + 8(3) = 139$

辺々引くと、

$5(x - 23) + 8(y - 3) = 0$

$5(x - 23) = -8(y - 3)$

5と8は互いに素なので、$x - 23$ は8の倍数でなければならない。

したがって、$x - 23 = 8k$ ($k$ は整数) とおける。

$x = 8k + 23$

$5(8k) = -8(y - 3)$

$5k = -(y - 3)$

$y - 3 = -5k$

$y = -5k + 3$

$x > 0$, $y > 0$ より、

$8k + 23 > 0$ かつ $-5k + 3 > 0$

$8k > -23$ かつ $-5k > -3$

$k > -\frac{23}{8} = -2.875$ かつ $k < \frac{3}{5} = 0.6$

$-2.875 < k < 0.6$ を満たす整数 $k$ は、$k = -2, -1, 0$

$k = -2$ のとき、$(x, y) = (7, 13)$

$k = -1$ のとき、$(x, y) = (15, 8)$

$k = 0$ のとき、$(x, y) = (23, 3)$

(2)

$3a + 2b + c = 12$ において、$a, b, c$ は自然数である。

$3a + 2b + c = 12$

$a \geq 1$, $b \geq 1$, $c \geq 1$ より、

$3a \leq 12 - 2 - 1 = 9$ より、$a \leq 3$

$a = 1$ のとき、$2b + c = 9$

$2b \leq 9 - 1 = 8$ より、$b \leq 4$

$b = 1$ のとき、$c = 7$

$b = 2$ のとき、$c = 5$

$b = 3$ のとき、$c = 3$

$b = 4$ のとき、$c = 1$

したがって、$(a, b, c) = (1, 1, 7), (1, 2, 5), (1, 3, 3), (1, 4, 1)$ の4組。

$a = 2$ のとき、$2b + c = 6$

$2b \leq 6 - 1 = 5$ より、$b \leq 2$

$b = 1$ のとき、$c = 4$

$b = 2$ のとき、$c = 2$

したがって、$(a, b, c) = (2, 1, 4), (2, 2, 2)$ の2組。

$a = 3$ のとき、$2b + c = 3$

$2b \leq 3 - 1 = 2$ より、$b \leq 1$

$b = 1$ のとき、$c = 1$

したがって、$(a, b, c) = (3, 1, 1)$ の1組。

以上より、自然数の組 $(a, b, c)$ は $4 + 2 + 1 = 7$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (7, 13), (15, 8), (23, 3)$

(2) 7個