$N$ 次元ベクトル $x, y, z$ について、$(x-y) \cdot z = 0$ かつ $(x-z) \cdot y = 0$ が成り立つとき、$(y-z) \cdot x = 0$ を示す。

1. 問題の内容

$N$ 次元ベクトル $x, y, z$ について、$(x-y) \cdot z = 0$ かつ $(x-z) \cdot y = 0$ が成り立つとき、$(y-z) \cdot x = 0$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を展開する。

$(x-y) \cdot z = 0$ より、

$x \cdot z - y \cdot z = 0$

したがって、

$x \cdot z = y \cdot z$ (1)

同様に、$(x-z) \cdot y = 0$ より、

$x \cdot y - z \cdot y = 0$

したがって、

$x \cdot y = z \cdot y$ (2)

次に、示したい式 $(y-z) \cdot x$ を展開する。

$(y-z) \cdot x = y \cdot x - z \cdot x$

ここで、(1) と (2) の結果を用いる。

$y \cdot x - z \cdot x = x \cdot y - x \cdot z$ (内積の可換性)

$= z \cdot y - y \cdot z$ ( (2) と (1) を代入)

$= y \cdot z - y \cdot z$ (内積の可換性)

$= 0$

したがって、$(y-z) \cdot x = 0$ が示された。

3. 最終的な答え

$(y-z) \cdot x = 0$