ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\mathbf{z} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ に垂直な、大きさが3のベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\mathbf{z} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ に垂直な、大きさが3のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$、$\mathbf{z}$ に垂直なベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ を求める。$\mathbf{v}$ が $\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$、$\mathbf{z}$ に垂直であるということは、それらの内積が0になるということである。

したがって、以下の3つの式が成り立つ。

$\mathbf{x} \cdot \mathbf{v} = 2a - b + c + 2d = 0$

$\mathbf{y} \cdot \mathbf{v} = 4a + 5b - c + 4d = 0$

$\mathbf{z} \cdot \mathbf{v} = 2a + 2d = 0$

3番目の式より、$a = -d$ が得られる。これを最初の2つの式に代入すると、

$2(-d) - b + c + 2d = 0 \Rightarrow -b + c = 0 \Rightarrow b = c$

$4(-d) + 5b - c + 4d = 0 \Rightarrow 5b - c = 0 \Rightarrow 5b - b = 0 \Rightarrow 4b = 0 \Rightarrow b = 0$

したがって、$b = c = 0$ となり、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -d \\ 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix}$ となる。ここで、d は任意のスカラーである。例えば、d = 1 とすると、$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

次に、このベクトル $\mathbf{v}$ の大きさを計算する。

$||\mathbf{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

求めたいベクトルの大きさは3なので、$\mathbf{v}$ を正規化して大きさを3倍にする必要がある。

正規化されたベクトル $\mathbf{u}$ は $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

最後に、大きさ3のベクトルを求めるために、$\mathbf{u}$ を3倍する。

$3\mathbf{u} = 3 \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 3/\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

また、符号を変えたものも条件を満たすので、$\begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$ も答えである。

3. 最終的な答え

大きさ3で、ベクトル $\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$、$\mathbf{z}$ に垂直なベクトルは、

$\begin{pmatrix} -\frac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$