ベクトル $x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ とベクトル $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ 2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ が一次従属であるとき、$y_1, y_3, y_4$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ とベクトル $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ 2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ が一次従属であるとき、$y_1, y_3, y_4$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つのベクトル $x$ と $y$ が一次従属であるとは、あるスカラー $k$ が存在して、$y = kx$ が成り立つことを意味します。

したがって、

$\begin{pmatrix} y_1 \\ 2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ -k \\ k \\ 2k \end{pmatrix}$

この式から、以下の連立方程式が得られます。

$y_1 = 2k$

$2 = -k$

$y_3 = k$

$y_4 = 2k$

2番目の式から $k = -2$ がわかります。

この値を他の式に代入して、$y_1, y_3, y_4$ を求めます。

$y_1 = 2k = 2(-2) = -4$

$y_3 = k = -2$

$y_4 = 2k = 2(-2) = -4$

3. 最終的な答え

$y_1 = -4$

$y_3 = -2$

$y_4 = -4$