数列 $\{a_1, a_2, ...\}$ が与えられています。$a_1 = 1$ であり、$n \ge 2$ に対して $a_n = S_{n-1} + 1$ です。ここで、$S_n$ は数列の第 $n$ 項までの和を表します。$a_{10}$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

数列 $\{a_1, a_2, ...\}$ が与えられています。$a_1 = 1$ であり、$n \ge 2$ に対して $a_n = S_{n-1} + 1$ です。ここで、$S_n$ は数列の第 $n$ 項までの和を表します。$a_{10}$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$a_n = S_{n-1} + 1$ を用いて、数列のいくつかの項を求めます。

$n \ge 2$ に対して、

$a_n = S_{n-1} + 1$

$a_{n+1} = S_n + 1$

$S_n = S_{n-1} + a_n$ より、

$a_{n+1} = S_{n-1} + a_n + 1$

$a_{n+1} = (S_{n-1} + 1) + a_n = a_n + a_n$

$a_{n+1} = 2 a_n$

$a_1 = 1$

$a_2 = S_1 + 1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

$a_3 = 2a_2 = 2(2) = 4$

$a_4 = 2a_3 = 2(4) = 8$

これは $n \ge 2$ のとき、$a_n = 2^{n-2} a_2 = 2^{n-2}(2) = 2^{n-1}$ という等比数列です。

$a_1 = 1$ のみ式を満たさないので、別に考える必要があります。

$n \ge 2$のとき、$a_n = 2^{n-1}$です。

したがって、$a_{10} = 2^{10-1} = 2^9 = 512$

3. 最終的な答え

512