$x = \frac{5}{\sqrt{10} + \sqrt{5}}$, $y = \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$ のとき、$x+y$ と $x^2 + y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{5}{\sqrt{10} + \sqrt{5}}$, $y = \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$ のとき、$x+y$ と $x^2 + y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ を計算する。

$x+y = \frac{5}{\sqrt{10} + \sqrt{5}} + \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$

$= \frac{5(\sqrt{10} - \sqrt{5}) + 5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{(\sqrt{10} + \sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{5})}$

$= \frac{5\sqrt{10} - 5\sqrt{5} + 5\sqrt{10} + 5\sqrt{5}}{10 - 5}$

$= \frac{10\sqrt{10}}{5}$

$= 2\sqrt{10}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算するために、$(x+y)^2$ を求める。

$(x+y)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ である。

$xy = \frac{5}{\sqrt{10} + \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$

$= \frac{25}{10 - 5} = \frac{25}{5} = 5$

したがって、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 40 - 2 \cdot 5 = 40 - 10 = 30$

3. 最終的な答え

$x+y = 2\sqrt{10}$

$x^2 + y^2 = 30$