次の複素数の計算を行いなさい。 (1) $(3+i)+(4-2i)$ (2) $(3-2i)-(-7+i)$ (3) $(5+6i)-(4-5i)$ (4) $(7+2i)+(7-2i)$ (5) $(7+4i)(-3+2i)$ (6) $(5-2i)^2$ (7) $(7+i)(7-i)$ (8) $i^5$ (9) $\frac{1}{3+i}$ (10) $\frac{2+i}{3+i}$

はい、承知いたしました。画像にある複素数の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

次の複素数の計算を行いなさい。

(1) $(3+i)+(4-2i)$

(2) $(3-2i)-(-7+i)$

(3) $(5+6i)-(4-5i)$

(4) $(7+2i)+(7-2i)$

(5) $(7+4i)(-3+2i)$

(6) $(5-2i)^2$

(7) $(7+i)(7-i)$

(8) $i^5$

(9) $\frac{1}{3+i}$

(10) $\frac{2+i}{3+i}$

2. 解き方の手順

(1) $(3+i)+(4-2i)$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

$3+4 + i - 2i = 7 - i$

(2) $(3-2i)-(-7+i)$

括弧を外し、実部と虚部をそれぞれ計算します。

$3-2i+7-i = 10 - 3i$

(3) $(5+6i)-(4-5i)$

括弧を外し、実部と虚部をそれぞれ計算します。

$5+6i-4+5i = 1 + 11i$

(4) $(7+2i)+(7-2i)$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

$7+7 + 2i - 2i = 14$

(5) $(7+4i)(-3+2i)$

分配法則を用いて展開し、$i^2 = -1$ を利用して整理します。

$7(-3) + 7(2i) + 4i(-3) + 4i(2i) = -21 + 14i - 12i + 8i^2 = -21 + 2i - 8 = -29 + 2i$

(6) $(5-2i)^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用して展開し、$i^2 = -1$ を利用して整理します。

$5^2 - 2(5)(2i) + (2i)^2 = 25 - 20i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i$

(7) $(7+i)(7-i)$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用して展開し、$i^2 = -1$ を利用して整理します。

$7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 49 + 1 = 50$

(8) $i^5$

$i^2 = -1$ を利用して次数を下げます。

$i^5 = i^4 \cdot i = (i^2)^2 \cdot i = (-1)^2 \cdot i = 1 \cdot i = i$

(9) $\frac{1}{3+i}$

分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{3+i} = \frac{1}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{3-i}{(3+i)(3-i)} = \frac{3-i}{3^2 - i^2} = \frac{3-i}{9 - (-1)} = \frac{3-i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$

(10) $\frac{2+i}{3+i}$

分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2+i}{3+i} = \frac{2+i}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{(2+i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{2(3) + 2(-i) + i(3) + i(-i)}{3^2 - i^2} = \frac{6 - 2i + 3i - i^2}{9 - (-1)} = \frac{6 + i + 1}{10} = \frac{7+i}{10} = \frac{7}{10} + \frac{1}{10}i$

3. 最終的な答え

(1) $7-i$

(2) $10-3i$

(3) $1+11i$

(4) $14$

(5) $-29+2i$

(6) $21-20i$

(7) $50$

(8) $i$

(9) $\frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$

(10) $\frac{7}{10} + \frac{1}{10}i$